Funciones de medición de error de predicción — Parte I —

Supóngase que se pretende predecir la fuerza que opone un material cuando es deformado a través de una expresión matemática. Para tal propósito, primero tendremos que medir, a través de un sensor, la fuerza que presenta el material cuando le es provocada una deformación (a esto podríamos llamarle «la respuesta del material a la deformación»).  Para efectos ilustrativos, piénsese en una pelota que se somete a compresión entre dos placas, siendo una de ellas un sensor que registra la fuerza para cada valor de deformación que experimenta dicho objeto. De esta manera, sí además registramos el desplazamiento, y por consecuencia, la deformación nominal de la pelota (cociente de la altura actual deformada de la pelota entre su diámetro original), se obtendrían pares de $fuerza/deformación$, ordenados en una matriz de tamaño $n \times 2$, donde $n$ vendría a ser el total de pares registrados en el experimento de la deformación de la pelota.

La estimación, entonces, consistiría en encontrar una expresión formal que aproximase la columna que alberga los datos de la fuerza, y así, de esta manera, se contaría con un «modelo mecánico de material», que contendría cualidad formal para mapear el comportamiento de la fuerza de la pelota cuando esta se comprime, toda vez que es alimentado con los datos de la primera columna de la matriz que se ha mencionado.  

Aunque se han introducido varios conceptos en los párrafos precedentes, se debe enfatizar que los modelos de material sí bien pueden modificarse para estos produzcan estimaciones dadas en parámetros de fuerza $[N, lb]$, lo más común es que se formulen y se construyan con base en deformación y esfuerzo. La figura 1 presenta un esquema muy general de cómo es que un modelo de material funciona; se pretende que todo modelo genere un mapa de esfuerzo usando datos de deformación, cual sí fuere una función matemática. 

Figura 1. Representación funcional de un modelo de material.

Hasta éste punto faltaría mucha teoría por involucrar, sin embargo, ya que pretendo ilustrar el cómo se obtiene el error existente entre una estimación proveída por un modelo de material, y los datos medidos en prueba, a partir de aquí me centraré en ello y dejaré para otra entrada los detalles de cómo se construyen los primeros así como los elementos que les conforman (y de manera muy general, por ello entrañar todo un universo de conocimientos especializados).

Bien, una vez que un modelo de material se ha utilizado para simular una prueba experimental (p.ej., un modelo hiperelástico para una prueba a tensión o compresión), el siguiente paso es evaluar la magnitud del error de las predicciones del modelo. Sí el experimento se ejecutó en modo de control de desplazamiento (y por consecuencia, la deformación es lineal), esto es, sí en la máquina universal donde se llevó a cabo la prueba al material se especificó el avance de las mordazas, entonces el modelo se alimentará exactamente con los mismos datos de desplazamiento (o con la deformación obtenida a través de la transformación de éste). De esta forma, la diferencia entre la predicción del modelo $\sigma_m$ y los valores de esfuerzo experimental ($\sigma_e$) se puede medir a través de una función de error:

\begin{equation} \xi = f(\sigma_m, \sigma_e ),\end{equation} 

(1)

donde $\xi$ se refiere al error, y la función $f$ depende de las predicciones del modelo y los datos del esfuerzo experimental. De esta manera, $f$ de la Ec. (1) puede tomar distintas formas, siempre y cuando se tenga en cuenta que lo que se pretende es obtener la diferencia existente entre el esfuerzo estimado por el modelo y el esfuerzo experimental, medido en pruebas. 

Las formas más comunes para medir el error dado la Ec. (1) son las siguientes:

1. Error Cuadrático Medio (MSE), 
• $MSE = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\sigma_{m_i} - \sigma_{e_i})^{2}$
2. Raíz del Error Cuadrático Medio (RMSE), 
• $RMSE = \sqrt{(\frac{1}{n})\sum_{i=1}^{n}(\sigma_{m_i} - \sigma_{e_i})^{2}}$
3. Coeficiente de Determinación, 
• $R^2=1-{\sum_{i=1}^{n}(\sigma_{m_i}-\sigma_{e_i})^2}/{\sum_{i=1}^{n}(\sigma_{e_i}-\bar{\sigma_{m}})^2}$.

donde $\bar{\sigma_{m}}$ representa la media de los valores contenidos en las predicciones dadas por un modelo.

La Figura 2 ilustra el caso reportado del uso de unos modelos para estimar el comportamiento del esfuerzo a tensión en materiales de tipo goma (enlace aquí). En lo particular, dese cuenta lector/a, que se usan las literales $y$, en color gris, para ilustrar las estimaciones del esfuerzo obtenidas por un modelo (para nosotros $\sigma_{m}$), mientras que $Y$ para los datos cosechados en las pruebas experimentales ($\sigma_{e_i}$). La Figura 2, además, es inteligible a que para cada punto del desplazamiento $\epsilon_i$, se cuenta con los datos de los esfuerzos, estimados y experimentales. 

Figura 2. Medición del error de una estimación del esfuerzo de tensión (Rodríguez-Sánchez et al. 2019).

Bien, la próxima entrada pretendo implementar las ecuaciones presentadas arriba en algún lenguaje de programación. 

Saludos,

Alejandro.